Объемы и площади поверхностей тел

Прямая призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае - это наклонная призма.

Объем прямой призмы: V=S_оснa ,
где S_осн - площадь основания прямой призмы, a - боковое ребро.

Площадь боковой поверхности прямой призмы: S_б=P_оснa ,
где P_осн - периметр основания прямой призмы, a - боковое ребро.

Площадь полной поверхности прямой призмы: S_п=S_б+2S_осн ,
где S_б, - площадь боковой поверхности прямой призмы, S_осн - площадь основания.

Наклонная призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае - это наклонная призма.

Объем наклонной призмы: V=S_псa ,
где S_пс - площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы: S_б=P_псa ,
где P_пс - периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

Площадь полной поверхности наклонной призмы: S_п=S_б+2S_осн ,
где S_б, - площадь боковой поверхности наклонной призмы, S_осн - площадь её основания.

Прямоугольный параллелепипед
Объем прямоугольного параллелепипеда: V=abc ,
где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда: S_б=2c(a+b) ,
где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда : S_п=2(ab+bc+ac) ,
где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб  

V = a ³ , S _б =4 a ² , S _п =6 a ² ,
где a - ребро куба, S_б, - площадь боковой поверхности куба, S_п - площадь полной поверхности куба

Пирамида - многогранник, у которого одна грань ( основание пирамиды ) - это произвольный многоугольник ( ABCDE), а остальные грани ( боковые грани ) - треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды. Высота боковой грани (SF) называется апофемой правильной пирамиды.

 
Объем пирамиды: ,
где S_осн - площадь основания, H - высота.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

Площадь полной поверхности пирамиды: S_п=S_б+2S_осн ,
где S_б - площадь боковой поверхности правильной пирамиды, S_осн - площадь основания.
 

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани - равнобедренные треугольники):

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема (высота боковой грани (SF) правильной пирамиды). 

Усеченная пирамида 
Объем усеченной пирамиды: ,
где S₁ , S₂ - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды: S_п= S_б+S₁+S₂  ,
где S_б - площадь боковой поверхности пирамиды, S ₁ , S₂ - площади оснований.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:  S_б = (Р₁ + Р₂)/2 · l,
где  Р ₁  и     Р₂ - периметры оснований, а  l - её апофема (высота боковой грани (SF) правильной пирамиды).

Цилиндр

Объем цилиндра: V= π R ²H ,
где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

Площадь боковой поверхности цилиндра: S_б=2π R H ,
где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

Площадь полной поверхности цилиндра: S_п=2 π R H + 2 π R²,
где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

Конус

Объем конуса:   ,
где R - радиус основания конуса, а H - его высота.

Площадь боковой поверхности конуса: S_б=2π R L ,
где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.

Площадь полной поверхности конуса: S_п=2 π R (R+L),
где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.

Усеченный конус

Объем усеченного конуса:   ,
где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его высота.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса: S_б= π L (R+r),
где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

Площадь полной поверхности усеченного конуса: S _п = π L ( R + r )+ π R ² + π r ² ,
где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

Сфера и шар

Объем шара:   ,
где R - радиус шара.

Площадь сферы (площадь поверхности шара): S=4 π R²,
где R - радиус сферы.

Шаровый ( сферический ) сегмент - часть шара ( сферы ), отсекаемая от него какой-либо плоскостью ( ABC ). Круг ABC называется основанием шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента.

Объем шарового сегмента:  ,
где H - высота шарового сегмента, R - радиус шара.

Шаровый сектор - часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента ( AMCB) и конической поверхностью OABC, основанием которой служит основание сегмента ( ABC ), а вершиной - центр шара O.

Объем шарового сектора:  ,
где H - высота соответствующего шарового сектора, R - радиус шара.